数学家首次注意到素数 2300 年后，他们仍然对此着迷

3 月 20 日，美裔加拿大数学家罗伯特·朗兰兹获得阿贝尔奖，以表彰他在数学领域的终身成就。朗兰兹的研究展示了几何、代数和分析中的概念如何通过与素数的共同联系而结合在一起。

当挪威国王于今年 5 月向朗兰兹颁发该奖时，他将表彰 2300 年来为理解素数所做的最新努力，素数可以说是数学中最大、最古老的数据集。

作为一名致力于“朗兰兹纲领”的数学家，我对素数的历史以及最近的进展如何揭开素数的秘密非常着迷。为什么它们能吸引数学家们数千年？

如何寻找素数

为了研究素数，数学家们将整数通过一个又一个虚拟网格筛选，直到只剩下素数。这种筛选过程在 19 世纪产生了包含数百万个素数的表格。它使今天的计算机能够在不到一秒的时间内找到数十亿个素数。但筛选的核心思想在 2000 多年里从未改变过。

数学家欧几里得在公元前 300 年写道：“质数是仅用单位来衡量的数。”这意味着质数不能被除 1 之外的任何较小的数字整除。按照惯例，数学家不将 1 本身算作质数。

欧几里得证明了素数的无限性——它们永远存在——但历史表明，埃拉托色尼给了我们快速列出素数的筛选法。

筛法的原理如下。首先，过滤掉 2 的倍数，然后是 3，然后是 5，然后是 7 的倍数——前四个质数。如果对 2 到 100 之间的所有数字都执行此操作，则只剩下质数。

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通过 8 个过滤步骤，可以分离出 400 以内的素数。通过 168 个过滤步骤，可以分离出 100 万以内的素数。这就是埃拉托斯特尼筛法的威力。

表格和表格

最早将素数制成表格的人物是约翰·佩尔，他是一位致力于创建有用数字表格的英国数学家。他致力于解决丢番图的古代算术问题，同时也是出于整理数学真理的个人追求。由于他的努力，到 18 世纪初，100,000 以内的素数已广为流传。到 1800 年，独立项目已将 100 万以内的素数制成表格。

为了使繁琐的筛选步骤自动化，德国数学家卡尔·弗里德里希·兴登堡 (Carl Friedrich Hindenburg) 使用可调节滑块一次性在整页表格上印出倍数。另一种低技术但有效的方法是使用模板来定位倍数。到 19 世纪中叶，数学家雅各布·库利克 (Jakob Kulik) 开始了一项雄心勃勃的项目，寻找所有不超过 1 亿的素数。

如果卡尔·弗里德里希·高斯没有决定为了研究素数而研究它们，那么 19 世纪的这些“大数据”可能只能作为参考表。高斯手握一份不超过 300 万的素数列表，开始逐个“千个”或 1000 个单位的组进行计数。他先数出不超过 1,000 的素数，然后数出 1,000 到 2,000 之间的素数，然后数出 2,000 到 3,000 之间的素数，以此类推。

高斯发现，随着计数的增加，素数出现的频率会逐渐降低，这符合“逆对数”定律。高斯定律并没有准确显示素数的数量，但它给出了一个相当不错的估计。例如，他的定律预测 1,000,000 到 1,001,000 之间有 72 个素数。正确的数量是 75 个素数，误差约为 4%。

高斯首次探索一个世纪后，他的定律在“素数定理”中得到证明。素数范围越来越大时，百分比误差趋近于零。黎曼假设是当今百万美元奖金问题，也描述了高斯估计的准确性。

素数定理和黎曼假设得到了关注和资金，但它们都是对早期不那么引人注目的数据分析的延续。

现代素数之谜

今天，我们的数据集来自计算机程序而不是手工切割的模板，但数学家仍然在素数中寻找新的模式。

除了 2 和 5，所有质数都以数字 1、3、7 或 9 结尾。19 世纪，人们已证明这些可能的末位数字出现的频率相同。换​​句话说，如果你查看一百万以内的质数，大约 25% 以 1 结尾，25% 以 3 结尾，25% 以 7 结尾，25% 以 9 结尾。

几年前，斯坦福数论学家 Lemke Oliver 和 Kannan Soundararajan 对素数末位数字的怪异现象感到措手不及。一项实验研究了素数的末位数字以及下一个素数的末位数字。例如，23 之后的下一个素数是 29：人们在它们的末位数字中看到 3 和 9。在素数的末位数字中，人们看到 3 和 9 的次数是否比看到 3 和 7 的次数更多？

数论学家预计会出现一些变化，但他们发现的结果远远超出了预期。质数之间的间隔不同；例如，23 与 29 相差 6 个数字。但 3 先是 9 的质数（如 23 和 29）比 7 先是 3 的质数更为常见，尽管两者的间隔都是 6。

数学家们很快就找到了一个合理的解释。但是，当涉及到连续素数的研究时，数学家们（大多）仅限于数据分析和说服。证明——数学家们解释事物为何为真的黄金标准——似乎还需要几十年的时间。

马丁·H·韦斯曼是加州大学圣克鲁斯分校数学副教授。本文最初发表于《对话》。