为什么这位代数老师让她的学生在课堂上编织

一月份的一个下雪天，我让一班大学生告诉我，他们想到数学时想到的第一个词是什么。排在最前面的两个词是“计算”和“方程”。

当我向一屋子专业数学家提出同样的问题时，他们并没有提到这两个词；相反，他们给出了“批判性思维”和“解决问题”这样的短语。

不幸的是，这种情况很常见。专业数学家眼中的数学与普通大众眼中的数学完全不同。当许多人将数学描述为计算的同义词时，难怪我们经常听到“我讨厌数学”。

因此我开始以一种非常规的方式解决这个问题。我决定在我所在的迦太基学院开设一门名为“编织数学”的课程。在这门课上，我选择完全取消课堂上的铅笔、纸张、计算器（哇哦）和教科书。相反，我们交谈、动手、画画，玩从沙滩球到卷尺等各种东西。至于家庭作业，我们通过写博客来反思。当然，我们也会编织。

相同但不同

数学内容的一个关键是等式，而等号是其中的关键。像 x = 5 这样的等式告诉我们，代表某个数量的可怕的 x 具有与 5 相同的值。数字 5 和 x 的值必须完全相同。

典型的等号非常严格。任何与“完全”的微小偏差都意味着两个事物不相等。然而，生活中有很多时候两个量并不完全相同，但根据一些有意义的标准，它们本质上是相同的。

例如，假设你有两个方形枕头。第一个枕头上面是红色，右边是黄色，下面是绿色，左边是蓝色。第二个枕头上面是黄色，右边是绿色，下面是蓝色，左边是红色。

这两个枕头并不完全相同。一个是红色的枕头，另一个是黄色的枕头。但它们肯定是相似的。事实上，如果你把红色枕头逆时针旋转一次，它们就完全一样了。

有多少种不同的方法可以将同一个枕头放在床上，但又让它看起来像是另一个枕头？做个小作业可以发现，有 24 种可能的彩色抱枕配置，但只有 8 种可以通过移动给定的枕头来实现。

学生们按照编织图表编织了由两种颜色组成的抱枕，以此证明了这一点。

学生们制作了方形编织图，图上的所有八个动作都会产生不同的图案。然后，他们将这些图编织成一个靠垫，通过实际移动靠垫，可以证明这些图的等效性。

橡胶片几何形状

我们讨论的另一个主题是有时被称为“橡胶片几何”的主题。这个想法是想象整个世界都是由橡胶制成的，然后重新想象形状的样子。

让我们试着用编织来理解这个概念。编织圆形物体（如帽子或手套）的一种方法是使用特殊的编织针，称为双尖针。在制作过程中，帽子由三根针塑造，使其看起来呈三角形。然后，一旦从针上脱落，弹性纱线就会放松成一个圆圈，形成一顶更典型的帽子。

这就是“橡胶片几何”试图捕捉的概念。如果三角形和圆形是由柔性材料制成的，那么它们在某种程度上可以是相同的。事实上，在这个研究领域，所有多边形都会变成圆形。

如果所有多边形都是圆形，那么还剩下什么形状呢？即使物体是柔性的，也有一些特征是可以区分的——例如，形状是否有边、是否有孔、是否有扭曲。

编织物中不等同于圆形的一个例子是无限围巾。如果您想在家制作纸质无限围巾，请取一条长条纸，将短边粘在一起，将左上角粘到右下角，将左下角粘到右上角。然后在物体周围画上指向上方的箭头。应该会发生一些很酷的事情。

课程中的学生花了一些时间编织物品，例如无限围巾和头带，即使由柔性材料制成，它们也各不相同。添加箭头等标记有助于准确地直观地看到物品的不同之处。

不同风味

如果你觉得本文中描述的内容不像数学，我想强调的是，它们确实是数学。本文讨论的科目——抽象代数和拓扑——通常是大学三、四年级数学专业的学生才接触的。然而，只要有合适的媒介，这些科目的哲学很容易理解。

在我看来，这些不同种类的数学没有理由对公众隐瞒，也没有理由比传统数学更不重视。此外，研究表明，使用可以物理操作的材料可以提高各个学习阶段的数学学习。

如果更多的数学家能够抛开传统技术，世界似乎有可能克服计算与数学相同的普遍误解。也许，更多的人可以接受数学思想；如果不是象征性地，那么就是字面意义上的，用一个靠垫。

萨拉·詹森是迦太基学院的数学助理教授。本文最初发表于《对话》。