摆脱对单面物体的痴迷

在日常生活中，您很可能已经遇到过数百次单面物体，例如印在铝罐和塑料瓶背面的通用回收符号。

这个数学物体叫做莫比乌斯带。自 1858 年德国数学家奥古斯特·莫比乌斯 (1868 年 9 月 26 日去世，150 年前) 发现它以来，它一直吸引着环保主义者、艺术家、工程师、数学家和许多其他人。

1858 年，莫比乌斯在莱比锡大学担任天文学和高等力学教​​授期间发现了这种单面带。（实际上，另一位名叫李丁的数学家几个月前就描述了这种带，但直到 1861 年才发表其研究成果。）莫比乌斯似乎是在研究多面体（由顶点、边和平面组成的立体图形）的几何理论时遇到了莫比乌斯带。

制作莫比乌斯环的方法是取一条纸条，将其折成奇数圈，然后用胶带将两端粘在一起形成一个环。如果你用铅笔沿着纸条的中心画一条线，你会发现这条线似乎沿着环的两侧延伸。

单面物体的概念启发了荷兰平面设计师 MC Escher 等艺术家，他的木刻版画“莫比乌斯带 II”描绘了红蚂蚁沿着莫比乌斯带一只接一只爬行的场景。

莫比乌斯带不仅具有一种令人惊讶的特性。例如，试着用剪刀沿着你刚画的线把莫比乌斯带剪成两半。你可能会惊讶地发现，你得到的不是两个较小的单面莫比乌斯带，而是一个长的双面环。如果你手边没有纸，埃舍尔的木刻版画“莫比乌斯带 I”展示了沿中心线剪开莫比乌斯带时会发生什么。

虽然这幅漫画确实具有视觉吸引力，但其最大的影响是在数学领域，它有助于促进拓扑学这一整个领域的发展。

拓扑学家研究物体在移动、弯曲、拉伸或扭曲时（无需切割或粘合）的属性。例如，一对缠结的耳塞在拓扑意义上与一对未缠结的耳塞相同，因为将一个耳塞变成另一个耳塞只需要移动、弯曲和扭曲。它们之间的转换不需要切割或粘合。

另一对拓扑结构相同的物体是咖啡杯和甜甜圈。由于两个物体都只有一个孔，因此只需拉伸和弯曲，其中一个物体就可变形为另一个物体。

物体上孔的数量是一种只能通过切割或粘合来改变的属性。这种属性称为物体的“属”，我们可以说一对耳塞和一个甜甜圈在拓扑上是不同的，因为甜甜圈有一个孔，而一对耳塞没有孔。

不幸的是，莫比乌斯带和双面环（例如典型的硅胶意识腕带）似乎都有一个孔，因此这种特性不足以区分它们——至少从拓扑学家的角度来看是这样。

相反，将莫比乌斯带与双面环区分开来的属性称为可定向性。就像其孔的数量一样，物体的可定向性只能通过切割或粘合来改变。

想象一下，在透明的表面上写下一张纸条，然后在该表面上四处走走。如果散步回来时你总能读到纸条，则该表面是可定向的。在不可定向的表面上，你可能散步回来时发现你写的字似乎变成了镜像，只能从右向左阅读。在双面环上，无论你走到哪里，纸条总是从左向右阅读。

由于莫比乌斯带是不可定向的，而双面环是可定向的，这意味着莫比乌斯带和双面环在拓扑上是不同的。

定向性的概念具有重要意义。以对映体为例。这些化合物具有相同的化学结构，但有一个关键区别：它们互为镜像。例如，化学物质 L-甲基苯丙胺是 Vicks 雾化吸入器的一种成分。它的镜像 D-甲基苯丙胺是 A 类非法药物。如果我们生活在一个不可定向的世界，这些化学物质将无法区分。

奥古斯特·莫比乌斯的发现为研究自然界开辟了新途径。拓扑学研究不断取得惊人成果。例如，去年，拓扑学让科学家发现了奇异的新物质状态。今年的菲尔兹奖是数学界的最高荣誉，授予了数学家阿克沙伊·文卡特什，他帮助将拓扑学与数论等其他领域结合起来。

David Gunderman 是科罗拉多大学应用数学专业的博士生。Richard Gunderman 是印第安纳大学医学、文科和慈善学的校长教授。本文最初发表于 The Conversation。