想了解无限吗？从酥皮开始。

以下摘录自 Eugenia Cheng 所著的《超越无限》。

我几乎可以肯定，我永远也不会登上珠穆朗玛峰的顶峰。我会乐观地保留心灵传送的可能性，但除此之外，我肯定我永远不会去。我也几乎肯定不会去南极。我不认识任何爬过珠穆朗玛峰的人，但我认识一位在南极工作的天体物理学家。我知道南极很难到达，即使坐飞机也很难，但距离仍然有限。我知道珠穆朗玛峰的高度有限。但对我来说，它们都可能是无限遥远的，因为我永远不会去那里。

无限是存在的，但我们能到达那里吗？如果事情足够小，我们能做无限多的事情吗？在我们真正研究如何理解这一点之前，我们将考虑一些似乎变得如此之大以至于几乎无限的东西，以及我们似乎几乎无限地做某事的情况。

棋盘上的米粒是一道古老的难题。故事讲的是，一个人在棋盘的第一个格子上要一粒米，在第二个格子上要两倍的米，在第三个格子上要两倍的米，以此类推，直到棋盘装满为止。问题是：他最终会得到多少米？简短的回答是：相当多。但到底有多少呢？

从理论上讲，这不是一个难题，因为你只需不断乘以 2 并将所有答案相加，直到完成所有 64 个方格。但是，如果你尝试这样做，你会发现数字会变得非常大，比你的计算器甚至你的计算机在正常设置下所能处理的要大得多（除非你有一些特殊的计算工具）。有一个技巧可以加快计算速度，但你最终还是要处理一个非常非常大的数字：18,446,744,073,709,551,615 粒米。

当然，我们通常不会用米粒来称量大米，除非是一些听起来很荒谬的数学问题。（我第一次听说这个问题是在一节数学课上，并试图手工算出答案。我错了。）那么，这实际上是多少大米呢？我刚刚试着称量 1 克大米，然后数一数米粒，似乎大约是 50 粒。所以我们可以做这个粗略的估算：

• 1克=50粒米
• 1碗=100克=5000粒
• 1人=每天4碗米饭=2万粒
• 世界 = 70 亿人口 = 140,000,000,000,000 粒谷物
• 一年 = 约 500 天 = 70,000,000,000,000,000 粒

这个数字末尾有 16 个零。我们拥有的谷物数量为 18,446,744,073,709,551,615，大约是末尾有 19 个零的 2：即多 3 个零，大约是 1000 倍。因此，看起来我们可以养活世界人口大约 1000 年。（不考虑目前世界人口每年都在大幅增长的事实。）我的计算非常粗略，但给出了一般思路：只需在棋盘上移动时将数量无害地加倍，您很快就会得到不可能的米量，比世界上现有的米量还要多。

酥皮糕点也依赖于同样的原理，即不断增加使面团生长得非常快。酥皮糕点中有许多微小的层，这些层只需将面团对折六次即可形成。面团中夹有一层厚厚的黄油，其稠度恰到好处，因此当你擀开它时，黄油会在夹层中整齐地铺平。然后你将其对折三层，形成六层，然后冷藏，使各层保持坚固，不会开始相互融合。然后你将其擀开，对折三层，再次冷藏。重复六次。反复乘以三会使层数增长非常快，然后当你烘烤糕点时，薄薄的黄油层融化，黄油的液体部分蒸发并产生蒸汽，这会将各层分开，这样你就可以看到糕点在烤箱中实际生长，而不仅仅是数字抽象地增长。

这是我最喜欢的指数增长演示。非正式地说，人们说事物呈指数增长只是为了表示它们增长了很多，这在某种程度上是正确的，但正式的数学含义是它一直以相同的比例增长。如果我第一次将酥皮折叠成三层，然后折叠成四层，然后折叠成五层，然后折叠成六层，层数会增长得更快，但不会呈指数增长，因为倍增率在变化。

我喜欢指数增长直接转化为酥皮的美味。多层酥皮不仅引人注目、美观，而且非常薄，入口即化。酥皮以难做而闻名，但我认为这种方法的妙处在于，指数的使用实际上使制作这些极薄的酥皮层变得相当容易。毕竟，单独擀出如此薄的层是非常困难的。数学的全部意义就在于让困难的事情变得更容易。

不幸的是，它常常被认为是一种无中生有的创造困难事情的方式。

摘自 Eugenia Cheng 所著《超越无限》，Basic Books 于 2017 年 3 月出版。经许可出版。

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