完美罚球背后的数学

大约 20 年前，我和同事 Chau Tran 博士开发出一种在计算机上模拟数百万个篮球飞行轨迹的方法。我们找到我们所在的北卡罗来纳州立大学的教练和助理教练，告诉他们我们具有仔细研究篮球投篮的非凡能力。他们提出的第一个问题很简单：“最佳罚球是什么？”投篮者应该瞄准篮筐前方还是后方？这取决于投篮者的身高吗？数学提供了一个独特的视角。它加快了我们了解最佳投篮模式的速度。在大多数情况下，我们发现的是球员和教练已经知道的东西 - 但是偶尔我们也会获得新的见解。模拟数百万次投篮从数学的角度来看，篮球是一场轨迹运动。这些轨迹的独特之处在于，当球在空中飞行时，其运动不会发生太大变化，但当球与篮筐或篮板相撞时，其运动会在几毫秒内迅速改变。为了模拟数百万条轨迹，同时又不让代码运行太长时间，我们尝试了所有能想到的技巧。我们想出了如何从适度变化的运动转变为快速变化的运动，例如当球在篮筐上或从篮板上弹起时。我们学会了如何将大量轨迹转化为统计概率。我们甚至创建了虚构的轨迹，在这些轨迹中，球神奇地穿过了除一个之外的所有物理障碍物（篮筐、篮板、背板），以查看它首先碰撞的位置。

罚球是我和同事详细研究的第一个投篮。在比分接近的比赛中，球队可能在罚球线上获胜或失败。更重要的是，罚球是无人防守的，因此完美的罚球会带来巨大的回报。顶级球队往往罚球命中率很高。

我们的程序可以告诉我们投篮者罚球命中的几率有多大——并帮助我们判断他做对了什么，做错了什么。

罚球分析

我们研究罚球大约有五年了。

我们从模拟和电视录像中了解到的第一件事就是，拥有同样稳定性的球员罚球准确率可达 75% 至 90%。不同之处在于，90% 的球员始终保持着正确的投篮姿势——最佳轨迹。

罚球的命运在球离开球员指尖的那一刻就已决定，因此我们仔细研究了投篮的“发射条件”。球位于离地面一定高度。它有一定的向后旋转速度（称为后旋），并且有发射速度和发射角度。由于投篮者从不以相同的方式发射球，因此微小的差异说明了投篮者的一致性。

我们发现，大约 3 赫兹的下旋是最佳速度；超过这个速度没有帮助。球到达篮筐大约需要 1 秒，因此 3 赫兹相当于在空中旋转三圈，从球离开球员的手到到达篮筐的那一刻。

接下来，假设球员在离地面 7 英尺的地方投球，最佳投球角度约为 52 度。在这个角度，投球速度最低，投篮成功的概率最大。在 52 度时，投球者可以偏离 1 度或更多，而不会对投篮成功产生很大影响。

然而，投球速度则恰恰相反。这是球员最难控制的变量。投球太慢，击球距离短；投球太快，击球距离长。球员需要记住投球时整个身体的动作，以始终保持相同的速度。

在其他条件相同的情况下，投篮高度较高的球员的投篮命中率更高。这很有意思，因为北卡罗来纳州立大学的教练和我交谈过的其他人都说，高个子球员的罚球命中率往往比矮个子球员差。看来矮个子球员必须更加努力。

最后一项投篮条件是最令人惊讶的：罚球的瞄准点。我们发现球员应该将球瞄准篮筐后部。基本上，篮筐后部比篮筐前部更容易投篮。在 7 英尺的投篮高度，球与篮筐后部的间隙应小于 2 英寸。无论是在低投篮高度还是高投篮高度投篮，小间隙都是最好的。

经验教训

那么这对于那些渴望提高罚球水平的球员来说意味着什么呢？

我们的研究表明，球员应该将球投向篮筐中心以外的位置。以高角度投球，球离地面的高度尽可能高。（球在弧线的最高点应该到达篮板的顶部。）将球对准篮筐以消除侧角。并尝试以平稳的身体动作投球，以产生一致的投球速度。

在过去的几年中，我们扩大了工作范围，研究最佳擦板投篮击中篮板的位置，并为任何想要完美投篮的人开发了一款工具。

随着锦标赛的临近，我意识到篮球比赛的竞争已经变得如此激烈，它已经真正变成了一场寸土必争的比赛。作为一名老篮球运动员，和你们中的许多人一样，我喜欢看比赛——而且，时不时地，我会瞥见那完美的罚球。

拉里·M·西尔弗伯格是北卡罗来纳州立大学机械与航空航天工程学教授。本文最初发表于《对话》。